Pour en savoir plus à propos de cette subtilité, lisez la partie Définitions alternatives. Cette observation est à la base de la notation complexe des signaux sinusoïdaux, qui mérite tout un tutoriel à elle seule. • Calculer la valeur moyenne dans le cas de signaux de formes simples. j Nous rappelons que la décomposition en série de Fourier d'un signal sinusoïdal est dans la base exponentielle j C A j C A 2 et 2 1 . Or, le cosinus est maximal notamment pour une phase nulle. f 1.2. Exercice : Mesurer une amplitude. La fonction sinus est une fonction qui permet de calculer le sinus d’un angle. Il peut s’agir par exemple d’un instant où le signal est maximum ou minimum. Cette expression ne dépend pas du temps, il s’agit donc d’un signal constant. La valeur algébrique du signal est donnée par la projection du vecteur tournant sur l'axe vertical. φ La valeur efficace d'un mouvement sinusoïdal est égale à environ 0,7 fois la valeur de crête de l'amplitude du signal. {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sin ^{2}\theta \cdot \mathrm {d} \theta =\pi } On peut voir cela autrement en remarquant que, à mesure que la fréquence augmente, la période diminue (pour rappel, T=1/fT = 1 / fT=1/f), ce qui peut s’observer sur la figure : le plus petit motif qui se répète devient de plus en plus étroit. On peut appliquer les formules de la puissance moyenne, apparente et instantanée en utilisant une tension et un courant alternatif. 3) Calculer la valeur moyenne d’un signal sinusoïdal d’amplitude A, défini par : s(t) = Acos(ωt +ϕ) 4) Calculer la valeur efficace de ce signal. Il comporte 2 signaux de morse avec des hauteurs de son diffé-rentes. ⁡ On observe ainsi que plus l’amplitude est grande, plus l’oscillation est haute. La distorsion est importante. Précisément, on l'exprime sous forme complexe comme suit : Le terme • Le repère est tel que ve est égal à 10 × sin 2 π F t (en volts) : • L’amplitude de ve est de 10 volts ; elle est indépendante de la fréquence ; • La fréquence, F de ve varie ; F prend, entre autres, les valeurs F1, F2 et F3. Fréquence du signal 1.3. Puissance d'un dipôle 2.1. Donc d'une manière très schématique, pour déterminer les composantes spectrales d'un signal, il suffira de multiplier le signal d'origine par un autre signal, d'intégrer le résultat (calculer l'aire). contient l'amplitude {\displaystyle i(t)} (que l'on peut exprimer en fonction de la valeur efficace d , de valeur efficace Fréquence du signal La fréquence est l'inverse de la … Valeur crête-à-crête (peak-to-peak : ptp) 1.4. Les amplitudes maximales, moyennes et efficaces, Cas où tension et intensité sont en phase, Cas où tension et intensité ne sont pas en phase, https://fr.wikibooks.org/w/index.php?title=Électricité/Le_régime_sinusoïdal&oldid=631704, licence Creative Commons attribution partage à l’identique, Lorsque l'on s'intéresse aux phases des grandeurs, on peut choisir de reporter les grandeurs de manière absolue dans le plan complexe, comme indiqué sur la Fig. Rappels sur la notion de période et de fréquence, Déphasage et retard entre deux signaux sinusoïdaux, HTML Dans le cas d’une fréquence nulle, c’est-à-dire f=0 Hzf=0~\mathrm{Hz}f=0 Hz, l’expression d’un signal sinusoïdal devient : s(t)=Scos⁡(φ)s(t) = S \cos(\varphi)s(t)=Scos(φ). Ce terme provient de l'abréviation des mots anglais Root-Mean-Square. Ici, il n'est pas possible d'identifier une ou des fréquences permettant à coup sûr la reconnaissance du problème, comme c'est le cas dans le spectre de fréquences ( figure suivante ). Un signal sinusoïdal est un signal ( onde) dont l’amplitude, observée à un endroit précis, est une fonction sinusoïdale du temps. I II- GRANDEURS RELATIVES AU RÉGIME SINUSOÏDAL 1- Expression temporelle Une grandeur sinusoïdale s(t) est représenté par l'expression : s(t) =Smax sin(ωt +θ) Smax est l'amplitude ( le signal varie de +Smax à –Smax) t est la variable représentant le temps en seconde (836 octets), EPUB Le sinus ou le cosinus sont des fonctions périodiques. 2) Même chose pour un rapport cyclique 1/3. ( • Un signal numérique est un signal discret dont l amplitude a été quantifiée signaux à temps discret Exemple x(t)=A sin( t+ ) X(k)=A sin[2 /N (k+k 0) 12 Classement des signaux • Déterministes : fonctions mathématiques réelles ou complexes • Stationnaires : probabilités • Non-stationnaires : transformée en ondelettes, transformations fractales. un signal sinusoïdal. Pour l’amplitude, il suffit de mesurer la hauteur du maximum, ce qui donne une amplitude de 3. Sur la figure ci-contre, la courbe (a) montre un signal f de fréquence fondamentale et d'amplitude 1 et un signal H3 de fréquence 3 fois plus élevé que la fréquence de f et d'amplitude 0,1. La modulationd’amplitude consiste à modifier l’amplitude de l’onde porteuse haute fréquence (HF) par le signal modulant « information » de basse fréquence (BF) 1. Définition. A : amplitude de la grandeur, appelée aussi valeur de crête, dans l'unité de la grandeur mesurée ω : pulsation de la grandeur en rad s ω t + φ : phase instantanée en rad φ : phase à l'origine en rad (… Le signal est stocké dans un fichier SIN1.WAV. Pour un signal sinusoïdal, le mot phase désigne la quantité à l’intérieur du cosinus, c’est-à-dire 2πft+φ2\pi f t + \varphi2πft+φ. La pulsation est liée à la fréquence par la définition suivante : Ainsi, vous verrez fréquemment des signaux sinusoïdaux écrits avec la pulsation au lieu de la fréquence : s(t)=Scos⁡(ωt+φ)s(t) = S \cos(\omega t + \varphi)s(t)=Scos(ωt+φ). Modifiable Umax=5 #amplitude. j Dénomination Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. Exemples d'applications: • extraire la valeur moyenne d'un signal (moyenneur) • éliminer des fréquences indésirables (bruit, ondulation..) La valeur de la puissance moyenne est alors maximale, sa valeur n'est autre que la puissance apparente. On utilise les propriétés du module et de l’argument d’un nombre complexe Z = Z = a² + b² Arg Z = φ tel que tan φ = b a En électronique Z est la valeur maximale du signal sinusoïdal. Les diverses mesures de l’amplitude d’un signal sinusoïdal. Réponse. Ce comportement se justifie mathématiquement en utilisant l’expression d’un signal sinusoïdal. 2 f sin {\displaystyle {\underline {V}}=V{\sqrt {2}}\exp j\varphi _{2}\qquad (5)}. φ Filtrage du signal constitué de la somme d’une « rampe continue » et d’un signal sinusoidal à la fréquence 1/8 Comparaison du signal filtré avec un moyenneur sur 3 points et un moyenneur sur 7 points . Smax est l'amplitude ( le signal varie de +Smax à –Smax) t est la variable représentant le temps en seconde ω est la pulsion en rad.s-1 θ est la phase à l'origine en radian ( compatible avec ωt en radian ). ⋅ Vous pouvez vous en rendre compte dans la démonstration précédente, en remplaçant U par I. Dans ce wikilivre, les grandeurs temporelles sinusoïdales sont exprimées en valeurs complexes. On part de la définition d’un signal sinusoïdal à l’aide de la fonction cosinus : Cette définition peut être transformée à l’aide de l’identité trigonométrique suivante : ∀x,cos⁡(x)=sin⁡(x+π/2)\forall x, \cos(x) = \sin(x + \pi/2)∀x,cos(x)=sin(x+π/2). Pour rappel, ces équations sont les suivantes : Mais pour faire ces calculs, nous avons besoin de préciser si la tension et le courant varient en même temps, ou si un décalage est présent entre les deux sinusoïdes. Il faudra bien distinguer l’amplitude et l’amplitude crête à crête (ou peak to peak) qu’affichent généralement les GBF etquireprésentel’écartentrelavaleurmaximaleetlavaleurminimaled’unsignal. Plus la puissance réactive est importante, plus le circuit réduira sa puissance moyenne par rapport à sa puissance moyenne maximale (apparente). Grandeurs typiques en régime sinusoïdal 3.2. 2 Les signaux pro-duits sont visualisés tels qu'ils apparaîtraient sur un oscilloscope. Cela donne : Si tension et intensité ne sont pas en phase (décalées dans le temps), on doit prendre en compte le terme de phase dans les équations. Le terme origine quant à lui désigne l’origine des temps, autrement dit t=0t=0t=0. Le circuit ne gaspillera donc pas d'énergie et fonctionnera à son régime de croisière. Exercice : Calculer une fréquence. Il est aussi possible de calculer l’amplitude en mesurant l’écart entre le maximum et le minimum, qui est le double de l’amplitude. En prenant r=Sr = Sr=S et θ=2πft+φ\theta = 2\pi f t + \varphiθ=2πft+φ, on peut dire que zzz est alors un signal complexe, dont la partie réelle est le vrai signal sinusoïdal. • L’amplitude d’une grandeur sinusoïdale est sa valeur maximale , appelée aussi, valeur crête : c’est û. b) pulsation • ω en radian par seconde : rad.s-1 ( car ωt est en radian) • on montre que ωT=2 π où T est la période du signal (en s) or T=1/f donc ω=2 π/T=2 πf T en s ; f en Hz ; ω en rad.s-1 Sa valeur efficace est égale à : Pour démontrer ce résultat, nous devons partir de la définition de la tension efficace : On effectue alors un changement de variable en remplaçant le temps par un angle dans le calcul du sinus. Valeur efficace - valeur moyenne d'un signal périodique. I En effet, un nombre complexe zzz de module rrr et d’argument θ\thetaθ peut s’écrire sous la forme suivante : z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r (\cos\theta + i \sin\theta)z=r(cosθ+isinθ). π cos(2 π.fp.t) Signal haute fréquence (HF) 1. En fonction du type de signal, on dispose de 3 outils mathématiques pour calculer le spectre d’un signal x(t) : si le signal x(t) est périodique, la décomposition en série de Fourier permet de calculer l’amplitude des raies du spectre. • Mesurer ou calculer une valeur efficace, un taux de distorsion harmonique. f Une sinusoïde est … ) Avant de poursuivre ce cours, nous devons parler de deux concepts fondamentaux, sans lesquels nous ne pourrions pas aller plus loin : les notions de courant continu et alternatif. 1 Ces observations mènent à deux méthodes pratiques pour la mesure de la fréquence. AM - 2003 Page 1 FILTRES EN REGIME SINUSOIDAL 1 - DEFINITIONS 1.1 Filtre Un filtre électronique est un quadripôle linéaire qui ne transmet que les signaux dont la fréquence est dans une plage appelée bande passante. est appelé le facteur de puissance. 1) Calculer la valeur moyenne et la valeur efficace d’un signal carré, compris entre 0 et 5V, de rapport cyclique 1/2. Exercice : Trouver une période en tenant compte des réglages d'un oscilloscope. Pour simplifier les calculs, nous allons prendre le cas où la tension est purement sinusoïdale, sans terme de phase. (le temps s'écoule de la même façon pour toutes les grandeurs), on se contentera d'utiliser dans les calculs et les représentations les amplitudes complexes. f s(t) + b où a et b sont des constantes. Ces signaux ne diffèrent que par leur fréquence et sont observés sur la même durée. Exemple 1 : cas d'un signal sinusoïdal • Soit un signal sinusoïdal décrit par : C ’est un signal ne contenant qu’un seul harmonique ! Dans le cas d’une fréquence nulle, c’est-à-dire f=0Hzf=0~\mathrm{Hz}f=0Hz, l’expression d’un signal sinusoïdal devient : s(t)=Scos⁡(φ)s(t) = S \cos(\varphi)s(t)=Scos(φ) Cette expression ne dépend pas du temps, il s’agit donc d’un signal constant. • Version : Modifiable ω=2*pi/T #pulsation. Le signal carré exp Le cas sans décalage correspond à la puissance dissipée par une résistance, comme nous le verrons plus tard dans ce cours. {\displaystyle \exp(j\omega t)} 2 Pour comprendre visuellement à quoi correspond la fréquence, je vous propose de regarder les trois signaux sinusoïdaux ci-dessous. _ Entrez l'adresse de votre instance Mastodon (ex: https://mamot.fr). (504,0 Kio), LaTeX Exercice : Mesurer une amplitude à l'aide d'une échelle. On laisse en effet de côté le facteur 2π2\pi2π qui prend systématiquement de la place sans apporter beaucoup d’information. La forme générale d'un signal sinusoïdal est donc : i(t) =I sin(ωt +ϕ) Rappelons quelques définitions : Phase instantanée : ωt +ϕ ... La norme de ce vecteur est égale à l'amplitude du signal et l'angle polaire est à tout instant égal à la phase instantanée du signal. Il est possible main-tenant de « jouer » ce fichier. Tout est cohérent ! On voit que plus le facteur de puissance est grand (s'approche de 1), plus la puissance moyenne sera proche de sa valeur maximale. Vous pouvez voir visuellement et simplement l’effet des différents paramètres sur l’aspect du signal sinusoïdal. Zeste de Savoir La première méthode consiste à mesurer la période, et on calcule alors la fréquence en faisant le calcul f=1/Tf = 1/Tf=1/T. En effet, sa formule est (pour une tension) : U = A sin (ωt + φ) Et c’est la même chose avec un cosinus. = I Pour comprendre visuellement à quoi correspond la phase à l’origine, je vous propose cette fois de regarder les trois signaux suivant. Applications pratiques Commençons cependant par examiner le spectre d’un vrai signal, à savoir le fichier morse2.wav. I Cela donne : Le calcul de la puissance instantanée donne : Si on calcule la puissance moyenne, on trouve : Dans le calcul de la puissance moyenne, le terme